- DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Cuando se quiere estudiar un fenómeno, se recogen una serie de observaciones sobre los valores que presenta y sus frecuencias, confeccionando una tabla estadística, que nos permite conocer el comportamiento de los datos. Esta es una aproximación basada en datos observados en una muestra. Las distribuciones de probabilidad son modelos teóricos de como sería tal distribución, para la población completa. Construimos tablas de frecuencias usando datos reales observados, pero al construir distribuciones de probabilidad, usamos los posibles resultados y sus probables frecuencias.
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Este tipo de experiencias se caracteriza por:
*Estar formada por un nº predeterminado n de experimentos iguales
*Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto)
*El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que denominaremos éxito y fracaso)
*Las probabilidades de ambas posibilidades ha de ser constante en todos los experimentos. (p y q respectivamente)
*Designamos por X la variable que mide el nº de éxitos que se han producido en los n experimentos.
Cuando estemos en estas condiciones, diremos que la variable X sigue una distribución binomial de probabilidad, y la designaremos por B(n,p), donde n es el nº de pruebas de que consta el experimento y p la probabilidad de éxito.
n es el número de pruebas.
k es el número de éxitos
p es la probabilidad de éxito.
q es la probabilidad de fracaso.
El número combinatorio 
EJERCICIOS
1.-
4.- La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
0.21284
0.22703
12.- La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que
a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB
n =10
0.00849
¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n = 4
p = 0.8
q = 0.2
B(4, 0.8)
5.- ¿Y al menos 2?
6.- Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que:
a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos,
n = 5
x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano
p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75
q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25
7.- Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que:
b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano
8.- Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la probabilidad de que:
c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.
En este caso cambiaremos el valor de p;
n =5
x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de tipo humano
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos
p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25
q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75
9.- Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que:
a) el vapor se condense en 4 de los tubos,
n =12
x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa
x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa
p =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40
q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60
0.21284
10.- Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que:
b) en más de 2 tubos se condense el vapor
p(X=3, 4, ...,12, n=12, p=0.40) = p(x=3)+p(x=4)+…+p(x=12)= 1-[p(x=0,1,2)]=
= 1-[0.002176+0.0174096+0.06385632]= 1- 0.08344192= 0.91656
11.- Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determine la probabilidad de que:
c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.
0.22703a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB
n =10
x =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido excede de 2 dB
x = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dB
p = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15
q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85
0.00849
13.- La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que
b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB
p(x=2,3,...,10, n=10, p=0.15)= 1- p(x = 0,1)
= 1 – [(0.19687+(10)(0.15)(0.231617)]=1-0.544296 = 0.455705
14.- La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que
c)que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB
n=10
x= variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su nivel de ruido no excede de 2 dB
x= 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dB
p = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85
q = p(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15
=(210)(0.522)(0.00001139)+(252)(0.4437)(0.000075937)+(210)(0.3771495)(0.00005063)=
=0.001249 + 0.00849 + 0.00400997 = 0.01374897
15.- La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que: d)encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.
n=10, p=0.15, q=1-p=0.85
Interpretación:
Se espera que 2 de los 10 amplificadores probados se excedan de un nivel de ruido de 2 Db
Interpretación:
Este experimento puede variar en 2 ± 1 amplificador, esto es, de 1 a 3 amplificadores que se excedan de un nivel de ruido de 2 dB
16.- Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinc
o está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen
10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
17.- -La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces
¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?
¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
18.- En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces.
Calcular la media y la desviación típica.
B(10, 1/3) p = 1/3q = 2/3
19.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en esta s condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
A) Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
20.- Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en esta s condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
B) Al menos tres personas.
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