DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

Una variable aleatoria  se dice que sigue una distribución normal de media  y varianza  si su función de densidad se escribe de la forma:

Propiedades:

• Toma valores en todo .
• Es una función simétrica respecto de.

• Es estrictamente creciente si y estrictamente decreciente si .
• Posee un máximo en.

• Posee puntos de inflexión en  y .
• En  posee una asíntota horizontal.

Características:

1. Esperanza: La esperanza de la distribución es.
2. Varianza: La varianza de la distribución es.
3. Función Generatriz de Momentos: La función de generatriz de momentos es










Cambio de origen y escala: La variable no se ve afectada por cambios de origen ni escala, es decir, si  entonces posee la siguiente distribución

EJERCICIOS

4.- Halla las siguientes probabilidades en una distribución N (0,1)

A) P [Z < -1,73]

 p[z<-1,73]= p [z>1,73]= 1-p[z<1,73]=1-0.9582 = 0.0418

5.- Halla las siguientes probabilidades en una distribución N (0,1)

B) P[0.62 < Z < 1,34]

p[0.62 < z < 1.34]= p[z< 1.34]-p[z<0.62]= 0.9099-0.7324= 0.1775

6.- Halla las siguientes probabilidades en una distribución N (0,1)

C) P[-1,2 < Z < 1,32]

p[-1.2< z < 1.2]= 2(p[z<1.2]-0.5)= 2(0.8849-0.5)= 0.7698

7.- El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una distribución  N(10, 2).  Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer:

a) Menos de 7 horas.

 p[x<7]=P[x-10/2 < 7-10/2]= p[z<-1.5]= p[z>1.5]= 1-p[z<-1.5]= 1-0.9332= 0.0668

8.- El tiempo empleado, en horas, en hacer un determinado producto sigue una distribución  N(10, 2).  Calcula la probabilidad de que ese producto se tarde en hacer:

b) Entre 8 y 13 horas.

p[8<x<13]=p[8-10/2<x-10/2<13-10/2]=p[-1<z<1.5]  =  p[z<1.5]-p[z>1]= p[z<1.5]-(1-p[z<-1])= 0.9332-(1-0.8413)=0.7745

9.- Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución  N(950, 200).  Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:

a) Superen los 1200 euros.

p[x>12000]=p[x-950/200>1200-950/200]=p[z>1.25]= 1-9[z<-1.25]=1-0.8944=0.1056

10.- Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución       N(950, 200).  Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:

b) Estén entre 700 y 1000 euros

p[700<x<1000]= p[700-950/200<x-950/200<1000-950/200]=

p[-1<z<0.25]=p[z<0.25]-p[z<-1]=p[z<0.25]-p[z>1]=p[z<0.25]-(1-p[z<-1]= 0.5987-(1-0.8413)=0.44

11.- El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal                

 N(192, 12). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:

a) Superior a 200 unidades.

p[x>200]=p[x-192/12>200-192/12]= p[z>0.67]=1-p[z<-0.67]=1-0.7486=0.2514

12.-  El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal 

 N(192, 12). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:

b) Entre 180 y 220 unidades.

p[180<x<220]=p[180-192/12<x-192/12<220-192/12]=p[-1<z<2.33]=p[z<2.33]-p[z<-1]=p[z<2.33]-p[z>1]=p[z<2.33]-(1-p[z<-1)=0.9901-(1-0.8413)=0.8314

13.- En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:
P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934

14.- En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

15.- La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: Entre 60 kg y 75 kg.

16.-  La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:.Más de 90 kg.

17.- La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:Menos de 64 kg.

18.- de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

19.- una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.