-TÉRMINOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS

Existen tres conceptos primitivos: elemento, conjunto y pertenencia. Un concepto primitivo es un

concepto que no se define.

Se puede definir a un elemento

Un elemento es cada unidad utilizada para un estudio estadístico. Por ejemplo,el conjunto de los datos 3, 5, 5, 3, 7, 2, 4, 1 contiene 8 elementos.

Se puede definir un conjunto

por extensión o enumeración, esto es nombrando todos y cada uno de sus elementos.
ƒpor comprensión, diciendo cuál es la propiedad o condición que los caracteriza.

Un conjunto se suele denotar encerrando entre paréntesis llaves a sus elementos, si se define por extensión y, si se define por comprensión, entre paréntesis llaves se indica la propiedad que caracteriza a sus elementos. Por ejemplo:

A = {1,2,3, ... ,n}

B = {p: p ∈ Z ∧ p es par}

Se puede definir pertenencia

Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto

Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia: a ∈ A.

En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a ∉ A.

Un conjunto A está determinado cuando, dado un elemento cualquiera x, es posible decidir si pertenece o no al conjunto.

-OPERACIONES CON CONJUNTO

Unión

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A∪ B . Esto es:

EJERCICIOS:

1.- Escribe el resultado de la unión entre estos 2 conjuntos

solución:

A={a,b,3} B={1,2,3} A U B ={a,b,3,1,2}

2.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar A U B;

Solución: A U B = {1,2,3,4,6,8}

3.- Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar A U C;

Solución: A U C = {1,2,3,4,5,6}

4.-Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar B U C;

Solución: B U C = {2,4,6,3,5}

5.-Sean A ={1,2,3,4}; B ={2,4,6,8}; C ={3,4,5,6}

Hallar B U B;

Solución: B U B = {2,4,6,8}

6.-Buscar la unión de A y B

A = {1, 2, 4, 6} y = B {4, a, b, c, d, f}

A U B = {1, 2, 4, 6, 4, a, b, c, d, f} = {1, 2, 4, 6, a, b, c, d, f}

7.- Sea A = { a, b, c } y B = { c, d, e, f}. Hallar A U B

Solución: A U B = { a, b, c, d, f }

8.- Sea A = {#,%, &, *, $} y B = {}

A È B = {#,%, &, *, $}

aquí vemos que si unimos un conjunto normal con un conjunto vació el resultado es que no afecta el conjunto vació en nada.

9.-Rosa y Sonia son grandes amigas y deciden unir todas sus cosas. Rosa tiene folderes, lapiceros, borradores, y tajadores; Sonia tiene gomas, folderes, cuadernos y lapiceros. ¿cuantas cosas han reunido? solución:

Rosa {folderes, lapiceros, borradores, tajadores}

Sonia {gomas, foleres, cuadernos, lapiceros}.... por tanto:

R È S= {borradores,tajadores,folderes,lapiceros,goma,cuadernos}

10.- Si: R= {r,a,t,o,n} S= {g,a,t,o}

R È S= {r,a,t,o,n}

11.- Si: J={m,i,g,u,e,l} L={j,u,a,n}

J È l= {m,i,g,u,e,l,j,a,n}

12.- Si: Z= {v,i,r,g,e,n} Y= {m,a,r,í,a}

Z È Y= {v,i,r,g,e,n,m,a,í}

Intersección

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B y se denota como A∩ B . Esto es:

Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen nada en común. Por ejemplo:

EJERCICIOS:

13.-Escribe el resultado de la intersección A ∩ B, si A={a,b,3} B={1,2,3}

Solución: A ∩ B = {3}

14.-La familia Perez tiene algunas mascotas como perros, gatos, pericos y pollos; pero algunas de estas mascotas pertenecen a la familia Castillo, pues ellos tienen: loros, perros, patos y pericos. ¿Que animales serán?

Solucion:

P ={perros,gatos, pericos, pollos}

C= {loros,perros,patos,pericos}

P ∩ C = {perros,pericos}

15.- Si P={manzana,naranja,pera,uva} J={plátano,sandia,pera, manzana}

P ∩ J = {manzana,pera,}

Complemento

El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A y se denota como 'A . Esto es:

EJERCICIOS:

16.-Dado los conjuntos:

U={0;1;2;3:4;5} A={2;3}

Hallar el complemento de A.

Solución:Como no tenemos el diagrama de Venn de los conjuntos marcamos la intersección entre el conjunto universal y el conjunto A, los elementos no marcados del conjunto universal vienen a ser el complemento del conjunto A.

A´={0;1;4;5}

17.- Si U ={letras del alfabeto} y X = {a,b,c},

el complementario de X es {d, e, f, ... x, y, z}.

18.- Si Y={vocales}

el complementario de Y es {consonantes}

Diferencia

La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A− B . Esto es:

EJERCICIOS

19.- Sea A= { a, b, c, d } y B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

20.- Sea A= { a, b, c, d } y B= { a, b, c, g, h, i }

B – A = { g, h, i }

Diferencia simétrica

Dados dos conjuntos A y B su diferencia simétrica es la unión de la diferencia A - B y B - A.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesianos de estos dos conjuntos es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) donde a es un elemento de A y b es un elemento de B.

Ejemplo: Sean A = {a, b, c} y B = {1, 2} dos conjuntos. El producto cartesiano A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}

El cardinal (número de elementos) del producto cartesiano es el producto de los cardinales de los dos conjuntos, |A x B| = |A| x |B|

-CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

POBLACIÓN: Total de elementos de un grupo que se estudia.

MUESTRA: Parte de un todo o una población con el fin de conocer aproximadamente sus características.

Experimento: Cualquier acción cuyo resultado se registra como un dato.

Espacio Muestral ( S ). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y observaremos los resultados siguientes:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } → S = { 6 }

Ejemplo. En el lanzamiento de dos monedas tenemos;

S = { HH, HT, TH, TT } → S = { 4 }

Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados de un experimento.

En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los posibles números en la cara del dado es un evento simple.

Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son eventos compuestos si se componen de dos o más eventos simples.

Ejemplos. A = { evento que salga un # impar }

A = { 1, 3, 5 }

B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 }

PROBABILIDAD. La probabilidad de un evento A, es la medida del chance de que ese evento ocurra.

# de maneras que A puede ocurrir

P(A) = -------------------------------------------------

# total de resultados posibles

na (eventos que corresponden a A )

P(A) = --------------------------------------------------

n (eventos totales en S )

-TÉCNICAS DE CONTEO

*Permutación

Una permutación es una combinación en donde el orden es importante. La notación para permutaciones es P (n,r) que es la cantidad de permutaciones de “n” elementos si solamente se seleccionan “r”.

se usan las siguientes fórmulas:

Cuando no se permite repetición

Cuando se permita repetición

EJERCICIOS:

1. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

SOLUCIÓN:

5P5= (5*4*3*2*1)= 120

2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.

SOLUCIÓN:

8P8= (8*7*6*5*4*3*2*1)= 40320

3. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

SOLUCIÓN:

2P2*4P4= (2*1)(4*3*2*1)= 48

4. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

SOLUCIÓN:

5P5= (5*4*3*2*1)=120

5. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

SOLUCIÓN:

10P10= (10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)= 3628800

6. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

SOLUCIÓN:

2P2*7P7= (2*1)(7*6*5*4*3*2*1)= 10080

7.- Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

M M M M F F F F F F Q Q

SOLUCIÓN:

4P4*6P6*2P2*3P3= ( 4*3*2*1)(6*5*4*3*2*1)(2*1)(3*2*1)= 207360

8.- Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si: Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.

M M M M FFFFFFQQ

SOLUCIÓN:

9P9*4P4= (9*8*7*6*5*4*3*2*1)(4*3*2*1)= 8709120

9.- Calcular y escribir las permutaciones ordinarias que se pueden formarse con las vocales a, e, i, o .

SOLUCIÓN:

4P4= (4*3*2*1)= 24

* COMBINACIÓN

Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación matemática.

se usa la siguiente fórmula:

10.- ¿cuantas combinaciones de cuatro letras distintas pueden formarse con dieciséis letras distintas?

SOLUCIÓN: 16C4=1820

11.- ¿En cuantas formas puede seleccionarse un destacamento de seis elementos entre veinte soldados?

SOLUCIÓN: 20C6= 38760

12.- ¿De cuantas maneras puede escogerse un comité de tres miembros entre nueve mujeres?

SOLUCIÓN: 9C3= 84

13.- Una casa de estudiantes consta de veinticinco miembros ¿De cuantas maneras pueden seleccionarse cuatro de ellos para servir lavaplatos?

SOLUCIÓN: 25C4= 12650

14.- Un niño tiene en su alcancía $3.50 en monedas de veinticinco centavos; ¿en cuantas formas puede pagar una deuda de $0.75 centavos?

SOLUCIÓN: 14 monedas de 25 centavos= $3.5

3 monedas de 25 centavos= $3

14C3=364

15.- ocho equipos participan en una competencia atlética, sin tomar en cuenta las localidades en que se efectúan los juegos, calcule cuantos juegos deben efectuarse para que cada equipo juegue con todos los demás.

SOLUCIÓN: 8C2=28.

-PROBABILIDAD SIMPLE

Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica.

Es cuando se analiza una sola característica.

Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder

Probabilidad =

Cantidad total de posibles resultados

EJERCICIOS:

1.- Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

SOLUCIÓN:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) entre la cantidad total de canicas (87):

68 ÷ 87 = 0.78

2.- Una bola se extrae aleatoriamente de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea roja.

SOLUCIÓN:

P(roja)= 6/15= 2/5

3.- Una bola se extrae aleatoriamente de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea blanca.

SOLUCIÓN:

P(blanca)= 4/15

4.- Una bola se extrae aleatoriamente de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 bolas azules. Determinar la probabilidad de que sea azul.

SOLUCIÓN:

P(azul)= 5/15=1/3

5.- Calcular la probabilidad de que salga "cara" al lanzar una moneda:

Casos favorables: 1 (que salga "cara")

Casos posibles: 2 (puede salir "cara" o "cruz")

Probabilidad = (1 / 2 ) * 100 = 50 %

6.- En una sala de clases hay 20 mujeres y 12 hombres . Si se escoge uno de ellos al azar. ¿cual es la probabilidad de que la persona escogida se hombre?

SOLUCIÓN:

P(hombre)= 12/32

7.- En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige a una de las personas al azar. ¿Cual es la probabilidad que la persona escogida sea hombre?

SOLUCIÓN:

P(hombre)= 28/60

8.- En un curso de 30 alumnos 18 son mujeres. ¿Cual es la probabilidad de que al escoger una persona no sea mujer?

SOLUCIÓN:

P(no sea mujer)= 12/30

9.- ¿cual es la probabilidad de ganar en una rifa de 1000 números en total, si se compran los 3 centésimos de la cantidad?

SOLUCIÓN:

3 centésimos equivale al 3%. P.= 3/100

10.- La probabilidad de que al sacar una carta al azar se un naipe ingles de 52 cartas, sea un As es:

P(As)= 4/52=1/13.

-PROBABILIDAD CONJUNTA

Es la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos.

De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A) se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A) expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades.

P(A∩B) recibe el nombre de probabilidad conjunta y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los eventos A y B.

Pueden ocurrir dos formas:

Que el segundo suceso depende del primero: sucesos dependientes:

1.- Se sacan dos cartas sin restitución ( se saca la primera se observa y no se vuelve a meter ) de una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes ?

Sea R = sacar un rey

Observe que lo que necesitamos es la probabilidad de sacar un rey en la primera carta y un rey en la segunda, es decir:

o que ninguno dependa del otro: sucesos independientes:

2.- Se sacan dos cartas con restitución una baraja de 52 cartas, ¿ Cuál es la probabilidad de que ambas sean corazones ?

Sea C = carta de corazones

-EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y NO EXCLUYENTES ENTRE SI.

Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).

Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez,esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos.

Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.

Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco

La Regla de la Adición expresa que:

la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B)

si A y B son mutuamente excluyente

P(A o B) = P(A) + P(B) ± P(A y B)

si A y B son no excluyentes

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento

BP(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

Evento mutuamente excluyente:

Son aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO pueden suceder al mismo tiempo

- Eventos dependientes e independientes.

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

EJERCICIOS

. 1.-si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A )caen 3 puntos o menos o caen 5 puntos o mas

SOLUCIÓN:

Como son Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6

2.-se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.
Cual es la probabilidad de:
A) sale un papel azul o sale un papel rojo

SOLUCIÓN:

P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 + 15/50
=25/50
=1/2

3.- En la urna A tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna B 12 blancas y 8 negras.

Cual es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una.

SOLUCIÓN:

P(AyB)=P(A)*P(B)
=7/20 * 12/20
=84/400
=81/100

4.- en una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se toma otra.
Cual es la probabilidad de A la primera sea de diamantes, y B la segunda sea de tréboles.

SOLUCIÓN:

P(AyB)=P(A) * P(B)
=13/52 * 13/52
=169/2704

5.- Un lote de 27 artículos, tiene 11 defectuosos. Se toma al azar 5 artículos del lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que sean buenos.

SOLUCIÓN:

p= 16/27 * 15/26 * 14/25 * 13/24 * 12/23 = 52416/968760

Se lanza una moneda cargada, de modo que la probabilidad de que salga cara es de 2/3 y que salga sello es 1/3.

Si sale cara se escoge al azar un número del 1 al 9; si sale sello se escoge al azar un número del 1 al 5.
Hallar la probabilidad de que se escoja un número par.

SOLUCIÓN:
P=2/3 * 4/9 + 1/3 * 2/5
= 8/27 + 2/15
=58/135

6.- Suponga que en una caja cerrada se tienen 3 canicas rojas, 3 canicas azules y 4 canicas verdes. Se saca una sola canica ¿cual es la posibilidad de sacar una canica roja?

SOLUCIÓN:

Canicas rojas: 3
Canicas azules: 3
Canicas verdes: 4
Total de canicas: 3 + 3 + 4 = 10

P (x) = 3 / ( 3 + 3 + 4) = 3/10 = 0,3 = 30%

Existe un 30% de posibilidad de sacar una canica roja.

7.-Considere los sucesos A y B. Suponga que P(A)= 0,4 ; P(B)= p yP(AUB)= 0,7 . ¿Para que valor de p, los eventos A y B son mutuamente excluyentes? ¿Para que valor de p, los eventos A y B son independientes?

Para que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes entonces P(A⋂B) = 0
P(A⋃B) = P(A) + P(B) - P(A⋂B) ..... probabilidad de la unión.
Sustituyendo los valores tenemos:
0.7 = 0.4 + P - 0 ⇨ P = 0.3
Para que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes P = 0.3.

Para que los sucesos Ay B sean independientes entonces P(A⋂B) = P(A)P(B)
P(A⋂B) = P(A)P(B) ..... condición de eventos independientes.
Sustituyendo los valores tenemos:
P(A⋂B) = 0.4*P ⇨ P = P(A⋂B) / 0.4
La relación anterior se cumple con la única condición que P(A⋂B) ≠ 0 (no excluyentes).
Para que los sucesos A y B sean independientes P = P(A⋂B) / 0.4 con P(A⋂B) ≠ 0

8.- Si haya una probabilidad del 10% de que Júpiter se alineará con Marte, y una probabilidad del 50% de que su tirada de una moneda saldrá águilas, entonces ¿qué es la probabilidad de que Júpiter se alineará con Marte y su tirada de la moneda saldrá águilas (suponiendo que Júpiter no tenga ningún efecto en el resultado de su tirada)?

Aquí,

J: Júpiter se alineará con Marte
A: Su tirada saldrá águilas

Pues Júpiter no tiene ningún efecto en su tirada de la moneda, tomamos estos sucesos como independientes, y así la probabilidad de que ambos sucesos ocurrirán es

P(J ∩ A) = P(J)P(A) = (.10)(.50) = .05.

9.- Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y luego reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica es reemplazada, el tamaño del espacio muestral (9) no cambia de la primera sacada a la segunda así los eventos son independientes.

P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

10.- Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.

P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)

11.- Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.

Solución.

El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos

elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, indescomponibles en otros más simples. Como el experimento consiste en responder al azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un

suceso elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera

pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representación

podemos escribir el espacio muestral como:

E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}

- Otro estudiante responde al azar a 4 preguntas del mismo tipo anterior.

a) Escriba el espacio muestral.

b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.

c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.

d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.

e) La colección formada por estos 5 sucesos, más el suceso seguro y el suceso

imposible ¿Constituyen un sigma-álgebra?

Solución

a) Con la misma convención del problema anterior, los sucesos elementales serían:

(V, V, V, V) (V, V, V, F) (V, V, F, V) (V, F, V, V)

(F, V, V, V) (V, V, F, F) (V, F, V, F) (V, F, F, V)

(F, V, V, F) (F, V, F, V) (F, F, V, V) (V, F, F, F)

(F, V, F, F) (F, F, V, F) (F, F, F, V) (F, F, F, F)

b) El Suceso responder falso a una sola pregunta será el subconjunto del espacio

muestral formado por todos los sucesos elementales en que solo hay unarespuesta

falo, lo llamaremos A y será:

A= {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V)}

c) El suceso responder verdadero al menos a 3 preguntas, lo llamaremos B y será:

B = {(V, V, V, F) È (V, V, F, V) È (V, F, V, V) È (F, V, V, V) È (V, V, V, V)}

d) Observando los sucesos elementales que los componen se deducen inmediatamente

los siguientes resultados:

A È B = B A U B = A B- A = {(V, V, V, V)}

12. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas la tecla azul?

Solución

a) Para que las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la rojay la segunda también pulse la roja, es decir que se verifique el suceso (R1 Ç R2).Ahora bien , como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La

probabilidad de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casos

favorables (uno), partido por casos posibles (tres)

P(R1 Ç R2) = P(R1) · P(R2) = 1/3 · 1/3 = 1/9

b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de los sucesos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos sucesos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección. La probabilidad de la intersección, al igual que en el apartado anterior, se calcula basándonos en el hecho de que son independientes.

P(A1 È A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 Ç A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9

13. Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

14. yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:

P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable

Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:

P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable

Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.

15. En 15 minutos podemos determinar como máximo si cuatro donantes son del tipo requerido, ya que en el peor de los casos si los 4 primeros no son del tipo adecuado ya no nos daría tiempo a la transfusión, (ya que 5 pruebas * 3 minutos = 15 minutos) asi que tenemos que determinar la probabilidad que como máximo el cuarto donante sea del tipo buscado, para esto necesitamos la distribución geométrica,

P(X=x) = p*(1-p)^(x-1)

donde

p=0.20 (20%)

y debemos calcular

P(X<=4) =

P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(X=1) = 0.2*(1-0.2)^(1-1) = 0.2
P(X=2) = 0.2*(1-0.2)^(2-1) = 0.16
P(X=3) = 0.2*(1-0.2)^(3-1) = 0.128
P(X=4) = 0.2*(1-0.2)^(4-1) = 0.1024

Y sumando las probabilidades

P(X<=4) = 0.5904

Que tambien se puede calcular directamente sabiendo que

P(X<=x) = 1-(1-p)^x

P(X<=4) = 1-(1-0.2)^4 = 0.5904 como anteriormente.

Por lo tanto la probabilidad que sobreviva es de 0.5904 (59.04%)

16. Al lanzar un dado tres veces, ¿según las probabilidades,
es conveniente apostar a favor o en contra de obtener al menos una vez el 2?
"Al menos una vez el 2" quiere decir "alguna vez
se obtiene el 2". Llamando A={alguna vez se obtiene
el 2}, su complemento es
A^c={ninguna vez se obtiene el 2}
P(A^c)=P(no sale 2 en 1er lanzam.)• P(no sale 2 en 2º
lanzam.)•P(no sale 2 en 3er lanzam.)=5/6•5/6•5/6
=125/216 0,58.
Luego, como P(A)+P(A^c)=1
P(A)=1-0,58=0.42=42%. Por lo tanto, no conviene
apostar a favor.

17. En una tómbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y después una negra?
a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la
primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola.
b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar
la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.

a) En este caso los eventos son independientes ya
que al reponer la bolita la ocurrencia de un evento no
afecta al otro.
Sean los eventos A: "sacar una bolita blanca" y B:
"sacar una bolita negra", entonces, usando
P(A B)=P(A)•P(B), P(A B)=2/5•3/5=6/25

b) Si no hay reposición, los eventos son dependientes
ya que la bolita no es repuesta a la tómbola, por lo que
ocupamos
P(A B)=P(A)•P(B/A)=2/5·3/4=3/10

18. Repita el problema 2) anterior, pero ahora la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y una negra? (note que ahora no importa el orden).

a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la
primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola
b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar
la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.

a) Usando la definición, el número total de casos
posibles es 5•5=25 y el número de casos favorables
es 2•3+3•2=12(una blanca y una negra ó una negra
y una blanca), luego, P(A)=12/25=48%. O bien,
usando las propiedades,
P(A)=P(sacar blanca)•P(sacar después negra)
+ P(sacar negra)•P(sacar después
blanca)=2/5·3/5+3/5·2/5=12/35=48%

b) Número de casos posibles: 5•4=20 y el número de
casos favorables =2•3+3•2=12, luego,
P(B)=12/20=3/5=60%.
O bien, usando las propiedades
P(B)=P(sacar blanca)•P(sacar negra/sabiendo que
ha salido blanca) +P(sacar negra)•P(sacar
blanca/sabiendo que ha salido negra)
=2/5•3/4+3/5•2/4=3/5=60%

19. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el práctico. Se sabe que la prob. que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la prob. de que apruebe el examen para obtener licencia?

Sea A: aprobar la parte teórica, (P(A)=0,68)
Sea B: aprobar la parte práctica, (P(B)=0,72)
Debemos calcular la prob. de A y B, P(A B).
Usando P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B), despejamos P(A B):
P(A B)=P(A)+P(B)-P(A B) y reemplazando,
P(A B)=0,68+0,72-0,82=0,58=58%

20. Hay 87 canicas en una bolsa y 68 son verdes. Si se escoge una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea verde?

Solución:

Divide la cantidad de formas de elegir una canica verde (68) por la cantidad total de canicas (87)

68 ÷ 87 = 0.781609

Redondea a la precisión deseada (es decir 0.781609 redondeado a centésimos es 0.78)

21.-Si un solo dado es lanzado al aire y el jugador puede ganar si obtiene el punto 1 o si obtiene el punto 6, entonces en tal caso estamos hablando de dos sucesos que son «mutuamente excluyentes entre sí», porque en un solo lanzamiento del dado no pueden aparecer los dos eventos al mismo tiempo (o cae 1, o cae 6, o cae cualquier otro resultado del dado). Por consiguiente, si el jugador quiere calcular la probabilidad de ganar en el lanzamiento del dado puede asumir que el evento A es la aparición del punto 1 del dado que tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6, mientras que el evento B es la aparición del punto 6 del dado que tiene una probabilidad de ocurrencia de 1/6, y por lo tanto la probabilidad de ganar se calcula mediante la sumatoria ya indicada: P(A,B) = P(A)+P(B) = 1/6+1/6 = 2/6, o lo que es lo mismo, el jugador para ganar en el lanzamiento del dado tiene 2 eventos a su favor sobre 6 eventos posibles:

22.- supongamos que un mazo normal de 52 cartas es mezclado y que un jugador puede ganar un premio si en la primera carta extraída del mazo aparece un as (A) o un rey (K), caso en el cual ambos sucesos también son mutuamente excluyentes entre sí porque la carta extraída o tiene un valor o tiene el otro pero no puede tenerlos ambos. En consecuencia, si se asume que el evento A es la extracción de cualquier as (A) con una probabilidad de ocurrencia de 4/52, y el evento B es la extracción de cualquier rey (K) que tiene una probabilidad de ocurrencia de 4/52, entonces la probabilidad de ganar obteniendo un as o un rey en un solo ensayo es de: P(A,B) = P(A)+P(B) = 4/52+4/52 = 8/52

, o lo que es lo mismo, el jugador para ganar tiene 8 eventos favorables (cuatro ases y cuatro reyes) sobre 52 cartas disponibles en el mazo.

23.- 1 si se tira un dado calcular la probabilidad de:
A caen 3 puntos o menos o
B caen 5 puntos o mas
Como son Mutuamente excluyentes AnB=0
P(AoB)=P(a)+P(B)
=P(salen 3 o menos)+P(salen 5 o mas)
=3/6 + 2/6
=5/6

24.-se tiene una urna con 50 papeles de colores 15 rojos, 5 morados, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.
Cual es la probabilidad de:
A sale un papel azul o
B sale un papel rojo
P(AoB)=P(AuB)=P(A)+P(B)
=P(sale un azul)+P(sale 1 rojo)
=10/50 + 15/50
=25/50
=1/2

- PROBABILIDAD CONDICIONAL.

Si A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:A y B son dos eventos en S, la probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió el evento B es la probabilidad condicional de A dado B, y se denota:

P(AlB)

-FUNCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87. Otros ejemplos de variable discreta serían el número de pollos de gorrión que llegan a volar del nido o el sexo de los componentes de un grupo familiar de babuinos.

proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.

La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.

El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.

Número de circuitos en una computadora.

El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos

EJERCICIOS

1.- Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:

La primera semilla sea roja?
La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?

Solución:

La probabilidad de que la primera semilla sea roja es , puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:
La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por

, y se lee: la probabilidad de B₂ dado R₁.

Esta probabilidad

, puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.

Veamos la situación en un diagrama de árbol:

2.- Una persona lanza una moneda 3 veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 águilas dado que salió por lo menos un águila?

Solución: El espacio muestra del experimento de lanzar una moneda 3 veces es

S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}

El evento A de que por lo menos hay un águila en los tres lanzamientos es:

A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}

El evento B de que obtenga 3 águilas es B = {aaa}

Por lo tanto, AÇ B ={aaa} y

De donde

Nótese que

es la probabilidad de una ocurrencia en las siete que son posibles en A; es decir, calcular la probabilidad condicional de B dado A es como calcular la probabilidad de B con relación al conjunto A, como si éste fuera un nuevo espacio muestra S* = A.

Proposición 3.5: Para dos eventos A y B cualesquiera del espacio muestra S,

Demostración: Para cualquier evento B,

Como los eventos (BÇ A) y (BÇ A^C) son mutuamente exclusivos y su unión es B, entonces por el axioma 3, tenemos:

[3.3]

Despejando P(AÇ B) de la definición de probabilidad condicional, tenemos

P(AÇ B) = P(A) P(B/A) y P(A^C^ÇB) = P(A^C) P (B/A^C)

Sustituyendo en [3.3] se tiene P(B) = P(A) P(B/A) + P(A^C) P (B/A^C).

Obsérvese que en un diagrama de árbol si se multiplica

P(A) P(B/A) = P(AÇ B) y P(A^C) P(B/A^C) = P(A^C^ÇB)

3.- Consideremos dos cajas, la caja 1 contiene 3 esferitas blancas y 4 rojas y la caja 2 contiene 8 blancas y 4 rojas. Se selecciona una caja al azar y luego se extrae una esfera al azar. Hallar la probabilidad de que la esfera sea blanca.

Solución: Sea A el evento de seleccionar la caja 1 y A^C el evento de seleccionar la caja 2, entonces P(A) = P(A^C) = 1/2 ya que cualquiera de las dos cajas tiene la misma probabilidad de ser extraída. Sea B el evento de seleccionar una esfera blanca, entonces P(B/A) = 3/7 ya que en la caja 1 hay 3 esferas blancas en un total de 7 y P(B/A^C) = 8/12 porque en la caja 2 hay 8 esferas blancas en un total de 12.

Ahora bien, por la proposición 3.5 tenemos:

4.-El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

5.-Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:

a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino

b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales

Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios

Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas

Suceso H: pacientes de género masculino

a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad será:

6.-La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.

7.-En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso H: seleccionar una niña.

Suceso V: seleccionar un niño.

Suceso M: infante menor de 24 meses.

En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.

a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:

8.-Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato

Suceso E: seleccionar un resultado con error

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

9.-Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.
¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Solución:

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.
Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) = = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

10.-Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

Solución:

Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

-REPRESENTACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA PROBABILIDAD PARA LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

TABLAS DE FRECUENCIA PARA VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

-CALCULO DE LA MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La media aritmética

La media aritmética es el método más antiguo empleado para caracterizar un conjunto de datos e identificar una tendencia central.

La media aritmética es la suma de las observaciones dividida por el numero n de observaciones :

Fórmula para calcular la media aritmética

Cuando los datos están ordenados en forma de distribución de frecuencia, la fórmula matemática que debe aplicarse es la siguiente:

Fórmula para calcular la media aritmética con una forma de distribución de frecuencias

Dos ejemplos de cálculo:

Media aritmética clásica :

Las notas de un examen en una clase son las siguientes: 4, 5, 4, 8, 10, 7, 9, 6, 5, 2.

La suma de las notas=4+5+4+8+10+7+9+6+5+2 = 60

Sobre 10 observaciones la media es 60 / 10 = 6.
Media aritmética en el marco de observaciones ordenadas por frecuencia:

La media aritmética es igual a : 1675 / 15 = 111,67.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación estándar se representa por σ.

EJERCICIOS

1.- Calcule la varianza de la variable aleatoria x, que representa el número de puntos obtenidos con un dado.

m=E(X)=1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6

m^`₂=E(X²)=1²*1/6+2²*1/6+3²*1/6+4²*1/6+5²*1/6+6²*1/6

Sabemos que s2=m`₂-m²=((91/6)-(7/2)²=35/12

2.-El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:

Sumas	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Veces	3	8	9	11	20	19	16	13	11	6	4

- Calcular desviación típica.

x_i	f_i	x_i · f_i	x_i²· f_i
2	3	6	12
3	8	24	72
4	9	36	144
5	11	55	275
6	20	120	720
7	19	133	931
8	16	128	1024
9	13	117	1053
10	11	110	1100
11	6	66	726
12	4	48	576
	120	843	6633

3.-Uno de los principales factores que repercuten en el costo cuando se adquiere una casa es el de los pagos mensuales del préstamo. Existen muchos sitios en internet donde los futuros compradores pueden consultar las tasas de interés y calcular sus pagos mensuales. El Capital Bank of Virginia analiza la posibilidad de ofrecer préstamos para la adquisición de casas a través de internet. Antes de tomar una decisión final, seleccionará una muestra reciente de préstamos, con sus pagos mensuales correspondientes. La información se organiza en la siguiente distribuxción de frecuencias.

a) Determine el pago mensual medio

4.- Una muestra de 50 negociantes de antigüedades en el sudeste de Estados Unidos reveló las siguientes ventas ( en dólares) en el año pasado:

a) Calcule la media de las ventas

5.-Determine la media, la mediana y la moda del porcentaje de la población cuya edad es superior a 65 años. Que medida de tendencia central es la más representativa de los datos?

6.-Calcular la varianza de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

	[10, 15)	[15, 20)	[20, 25)	[25, 30)	[30, 35)
f_i	3	5	7	4	2

	x_i	f_i	x_i · f_i	x_i²· f_i
[10, 15)	12.5	3	37.5	468.75
[15, 20)	17.5	5	87.5	1537.3
[20, 25)	22.5	7	157.5	3543.8
[25, 30)	27.5	4	110	3025
[30, 35)	32.5	2	65	2112.5
		21	457.5	10681.25

Media

Varianza

7.- Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

	x_i	f_i	x_i · f_i	x_i² · f_i
[10, 20)	15	1	15	225
[20, 30)	25	8	200	5000
[30,40)	35	10	350	12 250
[40, 50)	45	9	405	18 225
[50, 60	55	8	440	24 200
[60,70)	65	4	260	16 900
[70, 80)	75	2	150	11 250
		42	1 820	88 050

8.- Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:

1. Calcular su media y su varianza.

2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media yvarianza.

x_i	x_i²
2	4
3	9
4	16
6	36
8	64
10	100
33	229

1

2

Esperanza matemática

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombre de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

EJERCICIOS

1.- Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

2.- Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable

3.- En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está distribuida normalmente con una media de 26º y una desviación típica de 4º.
Calcular el número de días que se "espera", tengan temperatura máxima comprendida entre 22º y 28º.

Como se trata de una distribución Normal, tipificamos (estandarizamos) los valores 22 y 28:
z1= (22 – 26) / 4 = -1
z2 = (28 – 26) / 4 = 0, 5
Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima esté entre 22 y 28º es:
p( 22< x < 28) = p( -1 < z < 0,5 ) = 0, 5328
Y el número esperado (esperanza) de días es:
E(x) = n * p = 30 * 0, 5328 ≈ 16 días

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

jueves, 2 de mayo de 2013

Unión

EJERCICIOS:

Intersección

EJERCICIOS:

Complemento

EJERCICIOS:

16.-Dado los conjuntos:

U={0;1;2;3:4;5} A={2;3}

Hallar el complemento de A.

Solución:Como no tenemos el diagrama de Venn de los conjuntos marcamos la intersección entre el conjunto universal y el conjunto A, los elementos no marcados del conjunto universal vienen a ser el complemento del conjunto A.

A´={0;1;4;5}

Solución:

Solución:

Media

Varianza

1

2

Esperanza matemática

EJERCICIOS

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Datos personales

	Cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder
Probabilidad =
	Cantidad total de posibles resultados